CURVAS ALGEBRAICAS

Este libro pretende ser una iniciación muy elemental al estudio de las Curvas Algebraicas, y tiene como destinatarios prioritarios los estudiantes de la asignatura de Curvas Algebraicas del grado en Matemáticas, así como el doble Grado en Matemáticas y Física. La elección del material responde a la tradición de muchos de los textos que cubren la materia y a un intento por preparar (por primera vez) esta asignatura por parte del autor con el fin de facilitar su presentación a sus estudiantes. Como asunción general, y con el objetivo de facilitar tal presentación, trabajaremos fundamentalmente con coeficientes en cuerpos algebraicamente cerrados de característica cero. Aunque esto limita el uso de los resultados del texto, entendemos que facilita sustancialmente la comprensión de los resultados presentados por parte del lector que se enfrente por primera vez a esta materia. Las dos principales fuentes en las que el autor se ha basado para preparar este curso han sido: el curso de Curvas Algebraicas impartido por su gran amigo J.M. Gamboa en el año 1997 (al que tuvo el placer de asistir) y el curso de Curvas Algebraicas que ha impartido su compañero Enrique Arrondo durante los últimos 10 años [A2].
El libro tiene un doble objetivo. En primer lugar familiarizar al lector con los rudimentos para estudiar los conjuntos algebraicos afines y proyectivos, con especial atención a los del plano. Por ello, incluimos demostraciones elementales de resultados como el Teorema de la base de Hilbert, el Nullstellensatz de Hilbert, el lema de Study o el lema de colocación de Noether.
El segundo objetivo consiste en recoger aquellos resultados que consideramos básicos para el estudio de las curvas algebraicas (afines y proyectivas). Todos están relacionados de forma directa o indirecta con el Teorema de Bézout, que es el resultado principal de este libro. Como el lector seguramente sabe, el Teorema de Bézout afirma que dos curvas algebraicas proyectivas de grados d y e se cortan en d · e puntos contados con su multiplicidad. En este libro las curvas algebraicas se corresponden con las ecuaciones polinómicas (salvo proporcionalidad por elementos no nulos del cuerpo base) y no con los lugares de ceros correspondientes del espacio afín o del espacio proyectivo (según el caso). Por supuesto, curvas diferentes pueden tener el mismo lugar de ceros y a cada lugar de ceros de una curva algebraica le vamos a asignar de “forma únivoca” una ecuación polinómica minimal (que como el lector puede esperar es una ecuación polinómica del lugar de ceros libre de componentes múltiples).
Para demostrar el Teorema de Bézout (que es un resultado de naturaleza global) debemos empezar por estudiar las curvas (afines y proyectivas) desde el punto de vista local y analizar cómo son sus puntos. Si la curva con la que estamos trabajando no tiene componentes múltiples (es decir, es una ecuación minimal de su lugar de ceros), entonces la curva solo tiene una cantidad finita de puntos especiales (a los que llamaremos puntos singulares) y el resto de los puntos, que llamaremos puntos regulares, tendrán desde un punto de vista local todos ellos un comportamiento similar. En los puntos regulares es relativamente sencillo definir el concepto de recta tangente y estudiaremos con especial atención los puntos de inflexión, que son aquellos puntos en los que la recta tangente corta a la curva con mayor multiplicidad que en los puntos regulares genéricos. Para poder abordar su estudio de forma más sistemática analizaremos el comportamiento del Hessiano de la curva. En los puntos singulares puede haber una única tangente o varias y al producto de sus ecuaciones
(con las multiplicidades adecuadas) lo llamaremos cono tangente.
El conocimiento de la recta tangente o en su defecto del cono tangente, no es suficiente para entender cómo se cortan dos curvas en un punto. Para poder entender el comportamiento de las curvas en su intersección es necesario poder parametrizarlas usando polinomios u otros objetos algebraicos tan parecidos como sea posible a los polinomios. En general, una curva no es parametrizable globalmente (ni siquiera con funciones más generales que los polinomios) y de hecho las curvas parametrizables son muy pocas con respecto a la familia de todas las curvas. Por ello, lo que haremos es parametrizarlas desde el punto de vista local y para ello introducimos las series formales y su generalización habitual usando exponentes fraccionarios, que da lugar a las series de Puiseux. El Teorema de Newton-Puiseux nos garantiza la existencia de parametrizaciones locales alrededor de cada uno de los puntos de una curva algebraica. La presentación que proporcionamos en este texto se basa en el uso de los polígonos de Newton. Dicha presentación es lo suficientemente constructiva en los ejemplos a los que se enfrentará el lector al leer este texto, con lo que podrá experimentar la potencia de los resultados involucrados.
Llegados a este punto introducimos en el tercer capítulo el concepto de lugar de una curva en un punto, como clase de equivalencia de parametrizaciones formales (irreducibles) centradas en dicho punto. La equivalencia se establece módulo reparametrizaciones formales. Una vez establecido este concepto, el siguiente objetivo es presentar la noción de multiplicidad de intersección de dos curvas en uno de sus puntos comunes. A continuación, presentaremos la demostración del Teorema de Bézout que se apoya en un buen uso de la resultante de dos polinomios.
El último capítulo se centra en la presentación de algunas aplicaciones del
Teorema de Bézout. Comenzamos estudiando los sistemas lineales de curvas y en particular las propiedades de los haces de cónicas y cúbicas. Es muy relevante el hecho de que si dos cúbicas se cortan en 9 puntos distintos y una de ellas es irreducible, entonces cualquier otra curva que pasa por 8 de los puntos anteriores también pasa por el noveno. A continuación, presentamos la primera fórmula de Plücker para curvas con una cantidad finita de puntos singulares y puntos de inflexión (es decir, sin componentes múltiples ni factores lineales) tales que los puntos de inflexión son ordinarios y las singularidades son nodos ordinarios y cúspides ordinarias. También presentamos acotaciones para las multiplicidades y la cantidad de los puntos singulares de una curva sin componentes múltiples y prestamos especial atención al caso de las curvas irreducibles.
Una parte importante de este capítulo está dedicada al estudio de las cúbicas irreducibles. Un primer paso consiste en la obtención de un modelo para cada cúbica irreducible (la relación de equivalencia utilizada para clasificar las cúbicas irreducibles será que exista un cambio de coordenadas proyectivas que transforme una en otra). Un modelo para una cúbica irreducible es un representante lo más sencillo posible de la clase de equivalencia a la que pertenezca. Para los casos singulares tenemos dos modelos: uno para las cúbicas cuspidales y otro para las cúbicas nodales. Para las cúbicas no singulares hay infinitos modelos distintos y para caracterizar cuándo dos modelos son equivalentes utilizaremos el invariante j. Para probar las propiedades de dicho invariante usaremos dos modelos de las cúbicas no singulares: la forma normal de Weierstrass y la forma normal de Hesse. El siguiente paso es el estudio del grupo de una cúbica irreducible. En los casos singulares obtenemos un modelo de dicho grupo sin demasiado esfuerzo, mientras que en los casos no singulares, no proporcionamos un modelo de dicho grupo, pues supera los conocimientos previos que presuponemos para estudiar este texto, pero si que presentamos algunas propiedades geométricas muy interesantes que se deducen de la estructura de grupo de la cúbica.
Concluimos este último capítulo estudiando las propiedades de la curva dual de una curva y, en el caso de que la curva sea ordinaria, presentamos las fórmulas de Plücker. Para la demostración de estos resultados necesitamos introducir también la curva polar de un punto con respecto a una curva, que permite calcular los puntos de tangencia de las rectas tangentes a la curva que pasan por dicho punto.
Terminamos este texto con un apéndice en el que incluimos el Teorema de Max Noether que nos permite probar (en toda su generalidad) la asociatividad del grupo de una cúbica (cuando algunos de los 9 puntos involucrados no son distintos).
El libro contiene numerosos ejemplos y 100 ejercicios, de dificultad variable. Muchos tienen por único objetivo que quien los resuelva compruebe que ha entendido la materia, pero la resolución de otros exige algo de ingenio y mayor madurez matemática. Pocos de estos ejercicios son originales y los hemos escogido fundamentalmente de dos fuentes: las listas de problemas elaboradas por J.M. Gamboa y por E. Arrondo para la preparación de los cursos citados al principio de este Prefacio.
Agradezco las contribuciones, correcciones y lectura cuidadosa de mis magníficos alumnos de la Facultad de Matemáticas de la UCM. Merecen una mención especial las aportaciones de Gema Acevedo Rincón, Oscar Álvarez Sánchez, Laura Berrojo Ramiro, Jose Antonio Castro Moreno, Ángela Díaz Bricio, Dolores Estévez Díaz, Judit García Pérez, Marcos Girón Fernández, Marcos Gutiérrez del Pozo, Raquel López Mayoral, Juan José Muela Cascallana, Gonzalo Rodríguez Pajares, Alejandro Rourich González, Adrián Santos Quiles, Mario Yeves Hernández, Gloria Vázquez Vidal.
Los prerrequisitios para leer este texto consisten fundamentalmente en haber cursado cursos de: Estructuras Algebraicas (Teoría de Grupos [FG1] y Teoría de Anillos [FG2]), Ecuaciones Algebraicas (Teoría de Galois [FG3]) y Geometría Lineal (Geometría Afín y Proyectiva [FG4]). Por lo demás, hemos escrito un texto autocontenido y algunas pruebas son más extensas que en otros textos con el fin de poder incluir todos los detalles y utilizar técnicas elementales.

José F. Fernando Galván.